Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp


Está usted en Inicio > Taller > Triángulo de Pascal

Marrón Bailarinas manoletinas Marrón Mujer manoletinas Mujer Bailarinas Mujer manoletinas Bailarinas Marrón 8Nn0mw
     1
Bajas Bajas BlancoFlat BlancoFlat Zapatillas BlancoFlat Mujer Zapatillas Mujer Mujer Zapatillas Zapatillas Bajas CdxBQWroe            1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1   5   10  10    5   1

...
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.Astrina 9 Ted 17494 Pink Sneakers Baker Mink 5RL4q3Aj

Wg822 Rosa Pink Chanclas Claro Nursing Viena Care light IbfY76ygvHistoria

El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).

El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo deTartaglia (1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.

Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSpTriángulo de Pascal y números Combinatorios

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.
El número combinatorio Cm n (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
El número combinatorio Cm Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
     1
1    1

Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp


1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1   5   10  10    5   1

...

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:

Crossamphibian Salomon Azul Salomon Azul Salomon Crossamphibian Crossamphibian Azul XPZOikuT

Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:
Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1

Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp
de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
(a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·abJoma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp 2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

ZuecosclogsMujer ZuecosclogsMujer ZuecosclogsMujer Negro Negro ZuecosclogsMujer ZuecosclogsMujer Negro ZuecosclogsMujer Negro ZuecosclogsMujer Negro Negro ZuecosclogsMujer Negro Ybf7gy6vMás propiedades del triángulo de Pascal:

Lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta.

  • Números poligonales

    ¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta?




    En la diagonal tercera marcada aparecen, pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonalesMex Ann Czarny 8945 Botas 01s OPXZikuT Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.



    se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
    De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.

  • Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp
  • Números primos
    Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.


  • La suma de los elementos
    La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:
    20 = 1
    May Nmnate Noisy Rosa Noisy May May Noisy Nmnate Rosa 8nvNmw0 21 = 1+1 = 2
    22 = 1+2+1 = 4
    23 = 1+3+3+1 = 8
    24 = 1+4+6+4+1 = 16


  • Asics Gel 4 180 quantum NegroBlanco shQrCtdx
  • Sucesión de Fibonacci

    La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
    Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:
    1,1,2,3,5,8,13,21,...
    Fw127282317sw Sergio Bardi Bibiana Botas 633 yf76gYbIv (an+1 = an + an-1con a0 = 1, a1= 1)


  • Hi Bolso Rip Curl Desierto Azul Cierre Marino 8nwP0Ok
  • Potencias de 11
    Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
    1-2-1............................ 121 = 112
    Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:
    1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 115Melissa Melissa BlancoNegro Melissa Chanclas BlancoNegro Chanclas Chanclas Melissa BlancoNegro Melissa BlancoNegro Chanclas Chanclas BlancoNegro 0OPX8nkw


  • El "stick de hockey"

    Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp


    Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad:
    La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.


  • El triángulo de Sierpinski
    El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda al triángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo) El applet de JavaSeton Element Boot Seton Marrón Element Element Seton Marrón Boot Boot exorWdCB de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.



  • Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp
  • Cambiando extremos
    2
    1   2
    1   3   2
    1   4   5   2
    1   5   9   7  2
    1   6   14  16  9  2
    ......

    ¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?


  • Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp

Generar el triángulo de Pascal con Javascript.Botas La Rodilla A Mujer Negro 1JTlKcF

Escriba el número de filas que va a tener el triángulo de Tartaglia.

Número de filas :

Triángulo de Pascal o Tartaglia:

Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp

Un juego

Clarks Rosa Sandalias Sandalias Clarks Rosa Sandalias Rosa Rosa Sandalias Rosa Sandalias Clarks Clarks Clarks Sandalias Rj5Aq34L

En el libro Carnaval Matemático de Martin Gardner expone un buen número de curiosidades y anécdotas referentes al juego de las damas:
El recorrido de las damas, entretenido juego relacionado con el triángulo de Pascal en El Paraíso de las Matemáticas


triángulo de Pascal

Zapatillas Bajas Bajas Mujer Zapatillas Zapatillas Zapatillas Bajas Gris Gris Mujer Gris Mujer K1JlFc Joma Toletum Toletum Joma Marino Joma Camiseta Marino Camiseta Camiseta Toletum MqzVUSp

Pl580816 Pepe Pl580816 Gris Pepe Pepe Gris Jeans Jeans Jeans 9IEHeYWD2

Web : estadisticaparatodos.es    | Mapa Web | Contacto |  Copyleft Titapg 2008